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近期，西湖大学与同济大学的研究人员发现，空间中的长程连接能够在渗流过程中推迟系统的崩塌阈值并诱发空间扩散现象。这一发现揭示了几何约束的强弱如何影响网络的结构崩塌与空间传播模式，为理解包括脑连接组在内的空间嵌入复杂系统的鲁棒性提供了新的物理视角。
相关成果以 “Delayed threshold and spatial diffusion in k-core percolation induced by long-range connectivity” 为题，发表在Communications Physics上。
西湖大学理学院、交叉科学中心博士后张昕亚为第一作者及通讯作者。共同作者包括同济大学严钢教授、博士生姚毅（共同第一作者）和韩芝宇。
空间约束下的网络鲁棒性特征
在自然界和工程系统中，复杂网络普遍受到空间几何约束。例如，大脑神经元之间的连接不仅取决于功能需求，也受到物理距离的限制。研究人员基于空间嵌入网络模型，系统探讨了空间长程连接（long-range connectivity）如何影响网络中的k-核渗流（k-core percolation）过程。
研究发现，长程连接能够触发网络结构的爆炸式相变（explosive phase transition），但同时延迟临界阈值的出现，使系统在遭受扰动时表现出更强的结构鲁棒性。这种“延迟崩溃”特征揭示了空间约束系统中鲁棒性与可预测性之间的内在权衡：网络越稳健，其崩溃信号反而越难被提前检测。
图1. 空间网络模型的相变行为。(a-b) k-核渗流过程。(c-d) 弱几何约束下，空间网络最大连通团会出现爆炸性相变，该几何约束通过无标度分布与指数截断两种空间模型分别实现。(e-f) 强几何约束下，空间网络最大连通团会出现连续相变
此外研究还发现，在空间传播层面上，几何约束的强弱决定了渗流的空间模式：较弱的几何约束（即存在一定长程连接）会导致空间扩散（spatial diffusion），而较强的几何约束则促成空间聚集（spatial clustering）现象。进一步地，基于 Von Neumann 邻域定义的空间连通域面积在各模型与参数条件下一致呈现幂律特征，反映出渗流过程的自组织临界性。
图2. 空间扩散与聚集现象。(a) 无标度分布几何约束的空间网络中，几何约束强度较小时（第一行）出现空间扩散现象，而几何约束强度较大时（第二行）则出现渗流聚集现象；(b) 指数截断约束的空间网络也呈现类似规律
从模型到生物脑网络的验证
为验证这一机制的普适性，研究人员不仅在合成空间网络模型上进行了系统模拟，还利用了最新果蝇幼虫全脑神经元连接图谱（Drosophila connectome）进行实证分析。结果表明，果蝇神经网络同样遵循几何标度律（geometric scaling law），并展现出延迟阈值与空间扩散现象。这一发现说明，长程连接在维持神经系统鲁棒性中的作用具有普适的物理机制，为理解脑网络的结构与功能耦合提供了新的理论依据。
图3. 真实神经元网络的渗流行为。遵循几何标度律的果蝇脑连接组，在不同几何约束下会呈现空间弥散与聚集两种行为
研究意义与展望
该研究从渗流理论角度揭示了空间长程连接在空间嵌入系统中引发的内在平衡性，指出空间几何约束不仅决定系统的结构脆弱性与鲁棒性，也塑造空间扩散与聚集的传播模式。这一理论框架为理解真实复杂网络（如脑连接组）的鲁棒性特征，以及人工智能网络在复杂空间约束下的鲁棒性设计与优化，提供了新的物理视角与研究思路。
